(JAKFAR AHMAD - 202031056) matriks

Nama: Jakfar Ahmad

NIM: 202031056

Prodi: Teknik Informatika

Dosen Pengampu: Ibu Efy Yosrita, S.Si., M.Kom

 matrik Aljabar Linear

Pengertian Matrik

        Matrik adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung, ditulis dengan :

Istilah-istilah dalam matrik :

·         Lambang matrik digunakan huruf besar, A, B, C

·         Elemen matrik digunakan lambang huruf kecil, a. b , c …

·         Bagian mendatar disebut baris

·         Bagian tegak disebut kolom

·         Indeks-I menyatkan baris, indeks-j menyatakan kolom

·         Jumlah baris=m, jumlah kolom=n

·         Ukuran matrik disebut ordo

·         Matrik dengan jumlah baris=m, jumlah kolom=n diebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn)

Ø  CONTOH

Beberapa istilah yang perlu diketahui ;

• Elemen matrik A dapat berupa bilangan bulat, desimal, riil atau bilangan kompleks
• Jumlah baris a=4, jumlah kolom a=5, A berukuran (4x5)
• a₃₂ : elemen baris ke-3 kolom-2 adalah 0.001
• Elemen-elemen diagonal matrik A : 1, p, Ö3, 1

JENIS - JENIS MATRIK

Matrik Bujur Sangkar

A dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Matrik A dikatakan berordo n.

Elemen-elemen diagonal utama A adalah a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₄₄ ….

Ø  CONTOH

Matrik A berordo 4, elemen-elemen diagonal utama A adalah 0, 0, 0, 0

Matrik Segitiga Atas

A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama 0.

Elemen-elemen diagonal utama : 3, 9, -7, 2, 8

Elemen-elemen dibawah diagonal utama 0, maka A matrik segitiga atas.

Matrik Segitiga Bawah

A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama 0

Elemen-elemen diagonal utama : 1, 4, 7, 2, 8

Elemen-elemen diatas diagonal utama 0, maka A matrik segitiga bawah.

Matrik Diagonal = D

A dikatakan matrik diagonal, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama tak nol. Matrik demikian diberi lambang D. 

Matrik Identitas = I

A dikatakan matrik identitas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama 1. Matrik identitas diberi lambang I..

 Transpose Matrik= A^T

Transpose matrik A ditulis A^T adalah sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris A^T adalah kolam A, dan kolom A^T adalah baris A. Bila A berukuran (mxn), A^T berukuran (nxm). 

Ø  CONTOH:

Matrik Simetris, A=A^T

A dikatakan matrik simetris, bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimana, A^T=A.

Ø  CONTOH:

 ( untuk matrik yang di samping ini bisa disebut juga matrik tridiagonal)

Matriks Baris
    Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

 Contoh : A =  ( 1   3   4   9)

Matriks Kolom
    Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

Matriks Nol
    Matriks Nol adalah Suatu matriks   yang setiap unsurnya 0 berordo  ,ditulis dengan huruf  O.

Matriks Skalar
    Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Matriks Mendatar
      Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

Matriks Tegak
      Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Matriks Skew Simetris

Matriks Skew Simetris (Anti Simetri), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula. Misalkan A adalah matriks persegi. Matriks A dikatakan skew simetris jika dan hanya jika AT=−A. Syarat lainnya yaitu semua elemen yang berada di diagonal utama bernilai nol.

OPERASI ARITMATIK MATRIK (1)

(1) Kesamaan, A=B

Matrik, A=[a_ij] dan B=[b_ij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya jika

(1)    A dan B berukuran sama

(2)    Setiap elemen yang seletak nilainya sama, a_ij = a_ij ;

Ø  Contoh : 

A dan B berukuran sama (2x3), tetapi A¹B, karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama

(2) Perkalian dng skalar, kA

Perkalian matrik, A=[a_ij] dengan skalar tak nol k ditulis kA, didefinisikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k, yakni :

             kA=k[a_ij]= [ka_ij] 

Ø  Contoh :

OPERASI ARITMATIK MATRIK (2)

(3) Penjumlahan, A+B

(1)    Matrik, A=[a_ij] dan B=[b_ij] dikatakan dapat dijumlahkan ditulis A+B bilamana A dan B berukuran sama.

(2)    Bilamana,  A+B=C, maka elemen matrik C diberikan,

                c_ij = a_ij + b_ij 

                (elemen yang seletak dijumlahkan)

Ø  Contoh :

Sifat Penjumlahan Matrik

Misalkan terdapat matriks A,B,C dan matriks nol O sedemikian rupa sehingga berlaku :

A+B = B+A

A+(B+C) = (A+B)+C

A+O = O+A = A

A+(−A) = −A+A = O

Sifat Peekalian Matrik

Misalkan terdapat matriks A,B,C, matriks nol O, matriks identitas I dan m,n sembarang bilangan bulat yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

OPERASI ARITMATIK MATRIK (3)

(4) Perkalian Matrik, AB=C

(1) Bilamana,  AB=C, maka matrik C=[c_ij](mxq) dimana elemen c_ij diberikan oleh :Matrik, A=[a_ij](m=n) dan B=[b_ij](pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana jumlah kolom A dan jumlah baris B  sama [n=p]. 

(2) Bilamana,  AB=C, maka matrik C=[c_ij](mxq) dimana elemen c_ij diberikan oleh :

Ø Contoh :

 Diberikan :

DETERMINAN MATRIK

Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda A

Kasus n=1

     A=[a], det(A) =|a| = a

Kasus n=2

Kasus, n=3, Metode Sarrus

(–)     (–)      (–)       (+)    (+)     (+)

(artinya untuk garis yang warna merah itu positif hasilnya dan garis                 yang warna biru negative hasilnya)

METODE EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[a_ij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn).

(1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis M_ij didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1) x (n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j

(2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai :

Ø CONTOH :

Ø CONTOH MINOR:

M₂₃ determinan matrik berordo (3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matrik A dihilangkan.

contoh lain yang menggunakan baris ke 3 dan kolom ke 2

M₃₂ determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangkan

DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[a_ij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn), dan C_ij = (-1)^i+j M_ij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.

Ø CONTOH :

Hitung det (A) dengan ekspansi kofaktor

Ø CONTOH :

Hitunglah determinan matrik A

Ekspnasi kofaktor baris

 Ø CONTOH

Hitunglah determinan matrik A ( ekspansi kofaktor kolom )

DETERMINAN : METODE CHIO

Andaikan, A=[a_ij] (nxn), dan a₁₁ ¹0, maka :

Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinan dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.

Ø CONTOH

Hitunglah, det(A) dari :

Jawab :

Karena, a₁₁= 2, dan n=3, maka :

Ø CONTOH:

Hitunglah, det(A) dari :

Jawab :

Karena, a₁₁= 3, dan n=4, maka :

DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga :

               A = LU

Akibatnya :

          det(A) = det(L) det (U)

Ø CONTOH:

TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU

(1) Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah  satu.

(2) Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1

(3) Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris.

(4) Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah

DEKOMPOSISI : METODE CROUT

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :

Kasus n=3

Rumus perhitungannya :

Ø CONTOH :

Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi

Jawab :

KASUS n=4 : DENGAN METODE CROUT

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

Ø CONTOH :

Hitunglah determinan matrik berordo (4x4) berikut dengan metode dekomposisi

Jawab :

DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :

Kasus n=3

Rumus perhitungannya:

KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

(1). Jika A matrik bujur sangkar

      maka

               det(A) = det(A^T)

Ø Contoh :

Menurut sifat (1), maka :

     det(A) = det(A^T) = –35

(2). Jika A dan B adalah matrik bujur

       sangkar yang berordo sama maka 

        det(AB) = det(A) det(B)

Ø Contoh :

(3). Jika A matrik bujur sangkar yang

      memuat baris atau kolom dimana

      elemennya 0 atau sebanding, maka

               det(A) = 0

Ø Contoh :

(4). Jika A matrik segitiga atas (bawah) 

      yang berordo (nxn) dimana

      elemen diagonal utama tak nol,

      maka :

         det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ … a_nn

Ø Contoh :

(5). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B

diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol, maka :

               det(B) = k det(A)

      Operasi elementarnya adalah :

      H_i ß k H_i : Baris ke-i baru = kx baris ke-i lama

      K_j ß k K_j : Kolom ke-j baru = Kx kolom ke-j lama 

ØØ Contoh :

det(B) = k1 k2 det (A)

           = (2) (3) 21

           = 126

(6). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B

diperoleh dari A dengan cara menukarkan  semua elemen      sembarang baris (kolom) , maka :

               det(B) = – det(A)

      Operasi elementarnya adalah :

      H_i ß H_j : Baris ke-i baru = baris ke-j lama

      K_i ß  K_j : Kolom ke-i baru = kolom ke-j lama

Ø CONTOH :

(7). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B

diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol dan hasilnya dijumlahkan  pada baris (kolom) yang lain,

      maka :

               det(B) = det(A)

      Operasi elementarnya adalah :

      H_i ß H_i+kH_j :

      Baris ke-i baru = Baris ke-i lama + k baris ke-j lama

      K_j ß K_j+k K_j :

      Kolom ke-j baru = kolom ke-j lama + k kolom ke-i lama 

Ø Contoh :

INVERS MATRIKS

PENGERTIAN INVERS MATRIK

q Matrik bujur sangkar A dikatakan mempunyai invers, jika terdapat matrik B sedemikian rupa sehingga :

                                    AB = BA = I

            dimana I matrik identitas

q B dikatakan invers matrik A ditulis A^–1, maka, AA^–1 = A^–1A = I

q A dikatakan invers matrik B ditulis B^–1, maka, B^–1B= BB^–1 = I

q Contoh ; AB = BA = I

—  Metode Adjoint matrik

Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn), Cij=(-1)i+j Mij kofaktor elemen matrik aij, dan andaikan pula det(A)≠0 maka A m

empunyai invers yaitu :

Kasus, n = 2 : maka dimana,

Kasus, n = 3

Ø Contoh :

KASUS : n = 4

Ø Contoh :

Hitunglah invers matrik berikut ini :

Ekspansi baris -1 :

det(a)= M11-2M12+3M13-4M14

            = -10 – 2(5) + 3(9) – 4(2) = –1

Ekspansi baris-2 :

det(A)= -2M21 + 3M22 - 5M23 + 5M24

            = -2(-6) –3(4) + 5(-6) –5(-1) = –1

Ekspansi baris-3 :

det(A)= 3M31-5M32+7M33-4M34

            = 3(-8) –5(3) + 7(6) –4(1) = –1

Ekspansi baris-4 :

det(A)= -3M41+6M42-8M43+6M44

            = -3(-7) +6(2) - 8(5) + 6(1) = –1

 

—  Metode operasi elementer baris

 Operasi Elementer baris yang digunakan adalah :

(1). Hj ß kHj

(2). Hj ß Hi

(3). Hj ß Hj + kHj

Langkah-langkah sebagai berikut

(1). Bentuk matrik lengkap [A,I]

(2). Dengan serangkain operasi elelemter baris reduksilah [A,I] menjadi matrik berbentuk  [I,B]

(3). A^–1 = B

 

Ø  Ø Contoh :

M Matriks asal

I    B1 = (1/a11)B1

     B2 = B2 - (a21/a11) B1

     B3 = B3 - (a31/a11) B1

B2 = (1/a22) B2
B3 = B3-(a32/a22) B2

B3 = (1/a33) B3

B1 = B1 - (a13/a33) B3 B2 = B2 - (a23/a33) B3 B1 = B1 - (a12/a22) B2                   Ø  Ø Contoh lain : B1 = (1/a11)B1 B2 = B2 - (a21/a11) B1 B3 = B3 - (a21/a11) B1 B4 = B4 - (a41/a11) B1 B2 = (1/a22)H2 B3 = B3 - (a32/a22) B2 B4 = B4 - (a42/a22) B2 B3 = (1/a33) B3 B4 = B4 - (a43/a33) B3 B4 = (1/a44) B4 B1 = B1 - a14*H4 B2 = B2 - a24*H4 B3 = B3 - a34*H4 B1 = B1 - a13*B3 B2 = B2 - a23*B3 B1 = B1-a12*B2        PERKALIAN MATRIK ELEMENTER (1). Matrik elementer adalah matrik yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matrik identitas. (2). Setiap matrik elementer mempunyai invers, dan setiap matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matrik identitas I. (3). Akibatnya, jika :        EkEk–1Ek–2 …E2E1A = I, maka,          A–1 = EkEk–1Ek–2 …E2E1 Matrik elementer E diperoleh dari transformasi matrik identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom : Ø  Ø Contoh : Hitung invers matrik A Menghitung E2

Menghitung E3 dan Invers Matrik

Jadi Invers Matrik A Ø  CONTOH LAIN: Hitung invers matrik A Jawab : Menghitung E1 Menghitung E2 Menghitung E3 Menghitung E4 dan Invers Matrik INVERS : PARTISI MATRIK (1) Partisi matrik A yang berordo (mxn) adalah sub matrik-sub matrik yang diperoleh dari A dengan cara memberikan batasan-batasan garis horisontal diantara dua baris dan  atau memberikan batasan-batasan garis vertikal diantara dua kolom. Ø Contoh : partisi matriksnya A adalah: Ø Contoh : INVERS : PARTISI MATRIK (2) Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers, yaitu : A–1 = B, dan partisinya masing-masing adalah : Karena, AB=BA=I maka diperoleh : Dari perkalian matrik diperoleh hasil : (1). A11 B11 + A12 B21 = I (2). A11 B12 + A12 B22 = 0 (3). B21 A11 + B22 A21 = 0 (4). B21 A12 + B22 A22 = I Dengan asumsi, A11–1 ada, dan B22 = L–1 ada Maka rumus untuk menghitung inver matriknya adalah : (1). B12 = –(A 11–1 A12)L–1 (2). B21 = – L–1(A21 A11–1) (3). B11 = A11–1+(A11–1A12)L–1(A21 A11–1) (4). L = A22 – (A21A11–1A12) Ø Contoh : Invers Matrik dengan Metode Partisi Matrik Ø Contoh 1: Ø Contoh 2: Kasus n=4. Hitunglah invers matrik berikut ini Jawab : partisi matriksnya A adalah: Menghitung L Menghitung Invers Matrik Ø Contoh n = 5: Hitung invers matrik A berikut : Jawab : Partisi matrik A Menghitung L Menghitung Invers Matrik Matriks Elementer & Invers Matriks Elementer •         adalah matriks yang diperoleh dari matriks identitas yang dikenai satu kali OBE. Ø Contoh: Invers Matriks (2 x2) ·      ad – bc = determinan matriks A atau det.A (IAI) ·      Jika ad – bc = 0 à matriks tidak mempunyai invers (matriks singular) Ø Contoh: Teorema invers matriks (A-1) •       Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka –      A B = B A = I à A adalah invers dari B dan B adalah invers dari A –      Jika B = invers A (di tulis A-1) maka A. A-1 = A-1. A = I –      (AB)-1 = B-1A-1 •       A-n = (A-1) n = A-1A-1…A-1 , untuk  n = 0, 1, 2, … •       A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A •       (kA)-1 = 1/k A-1 , untuk setiap skalar k ≠ 0 •       Tiap-tiap matriks elementer dapat dibalik dan inversnya adalah juga sebuah matriks Ø Contoh AB = BA =1 B = invers A (di tulis A-1) maka A. A-1 = A-1. A = I Ø Contoh AB-1 = A-1 B-1 Ø Contoh (A-1)-1  = A

IInvers (Menggunakan OBE) (Contoh)

Invers OBE (Contoh-1)

Invers OBE (Contoh-2)

Penyelasaian SPL dengan sistem Matriks

•       Jika SPL à A X = B

•       Maka X = A^-1 B

Contoh:

Tentukan nilai x dan y dari SPL berikut

            2x +   y = 5

            4x – 5y = 3

Cari nilai x dan y dengan cara biasa (poin plus)

Contoh:

 

Tentukan matriks A (2x2) yang memenuhi:

a.     A X = B

b.     X A = B

Cari A^-1 terlebih dulu

a.     Jika A X = B   maka X = A^-1.B

b. Jika X A = B maka X = B.A^-1

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rⁿ dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l sedemikian rupa sehingga,

                            Ax = lx

l      disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l.

Contoh :

Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari : 

yang bersesuaian dengan nilai eigen, l = 3, karena

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)

Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = lx sebagai,

                               Ax = lIx

                         (lI – A)x = 0

Agar supaya l menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)

Persamaan terakhir adalah polinomial l berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam l).

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :

(1)  Bentuk matrik (lI – A)

(2)  Hitung determinan, det(lI – A)=0

(3)  Tentukan persamaan karakteristik dari, (lI – A) = 0

(4)  Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)

(5)  Hitung vektor eigen dari SPL, (lI – A)x=0

Ø Contoh:

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, 

Jawab:

Bentuk, lI – A yaitu;

Persamaan karakteristiknya adalah :

det(lI – A) = l² – 2l – 8 = 0 

Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : l₁ = 4, dan l₂ = –2, dan inilah nilai eigen matrik A.

Vektor eigen x dari A diperoleh dari :

(lI – A)x = 0

Untuk l = 4, diperoleh SPL

Solusi SPL diatas adalah

Jadi vektor eigen untuk l = 4, adalah x = [5,1]. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan l = –2 adalah, x = [1,–1].

 

Ø Contoh:

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari,

Jawab:

Bentuk, lI – A yaitu,

Persamaan karakteristiknya adalah :

det(lI – A) = l³ – 6l² + 11l – 6 = 0 

Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah :

l₁ = 1, l₂ = 2, dan l₃ = 3

Vektor eigen x dari A diperoleh dari :

(lI – A)x = 0

 

Untuk l = 1, diperoleh SPL

Solusi SPL diatas adalah :

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan :

l = 1 adalah x = [1,1,1] ;

l = 2 adalah x = [2,3,3] ;

l = 3 adalah x = [1,3,4].

 

Diagonalisasi

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P^–1AP adalah matrik diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.

Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :

(1)  . Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen

(2)  . Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p₁,p₂, ... , p_n, 

(3)  . Bantuklah matrik P = [p₁ p₂ … p_n] dan hitunglah P^–1

(4)  . Hitung, D = P^–1AP dengan diagonal utama, l₁, l₂, … ,l_n

 

Contoh :

Vektor eigen dan nilai eigennya :

l = 1 adalah x = [1,1,1] ;

l = 2 adalah x = [2,3,3] ;

l = 3 adalah x = [1,3,4].

 

Ø Contoh:

Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana

Jawab:

Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A diperoleh dari :

det(lI – A) = 0             

Persamaan karakteristiknya adalah : l³ – 12l² + 45l – 54 = 0. dan akar-akarnya adalah : l₁ = l₂ = 3, dan l₃ = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (lI – A)x = 0

 

Untuk l = 3, SPL-nya

 

Solusi SPL-nya adalah

Vektor eigen

p₁ = [–2 ,1,0]

p₂ = [–2 ,0,1]

 

Untuk l = 6, SPL-nya

Solusi SPL-nya adalah :

Vektor eigen

p₃ = [–1,1,1]

 

Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah :

                 

 

Diagonalisasi Ortogonal

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P^–1AP (=P^TAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :

(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,

(2). A matrik simetris,

(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.

Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :

(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x₁, x₂, ... , x_n.

(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,

      dari vektor basis pada langkah (1).

(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p₁ p₂ … p_n]

 

Ø Contoh:

Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan matrik A, secara ortogonal bilamana

Jawab:

Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A diperoleh dari :

Persamaan karakteristiknya adalah : l³ – 3l² – 9l + 27 = 0. dan akar-akar atau nilai eigennya adalah : l₁ = l₂ = 3, dan l₃ = –3.

Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (lI – A)x = 0

 

Untuk l = 3, SPL-nya

Solusi SPL-nya adalah :

Vektor eigen

x₁ = [1,1,0]

x₂ = [–2 ,0,1]

 

Untuk l = 6, SPL-nya

Solusi SPL-nya adalah

Vektor eigen

x₃ = [1,–1,2]

 

Menentukan P = [p₁ p₂ p₃] 

Menghitung p₁

Menghitung p₂

p₂ = v₂/|v₂|, dengan v₂ = x₂ – [x₂,p₁]p₁

v₂ = x₂ – [x₂,p₁]p₁

    = [–2,0,1] – [–1,–1,0] = [–1,1,1]

 

Menghitung p₃

p₃ = v₃/|v₃|, dengan :

v₃ = x₃ – [x₃,p₁]p₁ – [x₃,p₂]p₂

 

Sehingga, v₃ = x₃ = [1,–1,2]

Dengan demikian,