Turunan
Definisi Turunan
Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai
fungsi karena perubahan nilai input (variabel).
Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam
menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.
Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari,
turunan dapat didefinisikan sebagai
turunan tersebut didefinisikan sebagai limit
dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai contoh
penerapan turunan.
Penerapan Turunan
Berikut merupakan beberapa penerapan turunan.
·
Turunan dapat diterapkan untuk menghitung gradien dari garis
singgung suatu kurva.
·
Turunan dapat digunakan untuk menentukan interval dimana suatu
fungsi naik atau turun.
·
Turunan dapat diterapkan untuk menentukan nilai stasioner suatu
fungsi.
·
Turunan dapat diterapkan dalam menyelesaikan permasalahan yang
berkaitan dengan persamaaan gerak.
·
Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
maksimum-minimum.
Berikut ini akan dijelaskan mengena rumus turunan.
Rumus Turunan
Berikut merupakan beberapa rumus dasar untuk menentukan turunan.
·
f(x) = c, dengan c merupakan konstanta
Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 0.
·
f(x) = x
Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 1.
·
f(x) = axn
Turunan dari fungsi tersebut
adalah f’(x) = anxn – 1
·
Penjumlahan fungsi: h(x) = f(x) + g(x)
Turunan fungsi tersebut yaitu h’(x) = f’(x) + g’(x).
·
Pengurangan fungsi: h(x) = f(x) – g(x)
Turunan fungsi tersebut adalah h’(x) = f’(x) – g’(x)
·
Perkalian konstanta dengan suatu fungsi (kf)(x).
Turunan fungsi tersebut adalah k . f’(x).
Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan fungsi.
Turunan Fungsi
Misalkan terdapat suatu fungsi f(x) = axn. Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = anxn – 1.
Contohnya yaitu:
f(x) =
3x3
turunan dari fungsi tersebut yaitu
f’(x) = 3 (3) x3 – 1 = 9 x2.
Contoh lainnya misalnya g(x) = -5y-3.
Turunan dari fungsi tersebut adalah g’(y) = -5 (-3) y-3 – 1 = 15y-4.
Berikut akan dijelaskan turunan fungsi aljabar.
Turunan
Fungsi Aljabar
Pembahasan turunan fungsi aljabar pada bagian ini meliputi
turunan dalam bentuk perkalian dan turunan dalam pembagian fungsi aljabar.
Turunan fungsi aljabar dalam bentuk perkalian
yaitu sebagai berikut.
Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x)
. v(x).
Turunan dari fungsi tersebut yaitu h’(x) = u’(x)
. v(x) + u(x) . v’(x).
Keterangan:
·
h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
·
h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
·
u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
·
u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x
Turunan fungsi aljabar dalam bentuk pembagian
yaitu:
Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) =
u(x)/v(x). Turunan dari fungsi tersebut adalah
h’(x) = (u’(x)
. v(x) – u(x) . v’(x))/v2(x).
Keterangan:
·
h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
·
h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
·
u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
·
u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x
Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan
akar.
Turunan Akar
Misalkan terdapat suatu fungsi akar sebagai berikut
Untuk menentukan turunan dari fungsi tersebut, terlebih dahulu kita ubah ke dalam bentuk fungsi perpangkatan. Bentuk fungsi perpangkatannya yaitu f(x) = xa/b.
Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = a/b . x(a/b) – 1.
Bagaimana jika fungsi berbentuk seperti ini?
Untuk menentukan turunan fungsi di atas, terlebih dahulu diubah
ke bentuk perpangkatan.
f(x) = g(x)z/b
Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = a/b . g(x)(a/b) – 1 . g’(x).
Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan parsial.
Turunan Parsial
Apa itu turunan parsial? Turunan parsial merupakan suatu turunan
dari fungsi peubah banyak terhadap suatu peubah, sedangkan peubah yang lain
dipertahankan.
Misalkan terdapat suatu fungsi: f(x, y) = 2xy, turunan parsial
dari fungsi tersebut terhadap variabel x yaitu fx’(x,
y) = 2y.
Contoh lainnya yaitu,
terdapat fungsi g(x, y) = -3xy2
Turunan parsial terhadap
variable y yaitu fy’(x, y) = -6xy.
Berikutnya akan dijelaskan mengenai turunan implisit.
Turunan
Implisit
Turunan implisit ditentukan berdasarkan variabel yang terdapat
dalam fungsi.
Suatu fungsi dengan variabel x, turunannya : x d/dx.
Suatu fungsi dengan variabel y, turunannya : y d/dy. dy/dx.
Suatu fungsi dengan variabel x dan y, turunannya : xy d/dx + xy
d/dy . dy/dx.
Agar lebih memaham mengenai turunan, coba kerjakan soal berikut
kemudian periksalah jawaban kalian dengan menggunakan pembahasan pada bagian di
bawah ini.
Contoh Soal
Turunan
1. Tentukan turunan dari fungsi berikut.
·
f(x) = 8
·
g(x) = 3x + 5
·
h(x) = 6x3
·
k(x) = 3x5/3
·
m(x) = (3x2 +
3)4
pembahasan
·
f’(x) = 0
·
g’(x) = 3
·
h’(x) = 6 (3) x3 – 1 = 18x2
·
k’(x) = 3 (5/3) x(5/3) – 1 = 5x2/3
·
m’(x) = 4 . (3x2 + 3)4 – 1 . 6x = 24x . (3x2 + 3)3
2. Tentukan turunan dari fungsi berikut.
·
f(x) = (3x + 2) . (2x2 – 1)
pembahasan
Misal: u(x) = 3x + 2 dan v(x) = 2x2 – 1
f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)
f’(x) = 3 . (2x2 – 1) + (3x + 2) . (4x)
f’(x) = 6x2 – 3 +
12x2 + 8x =
18x2 + 8x –
3
3. Diberikan sebuah fungsi ordo 2 seperti di
bawah ini
Tentukan nilai f(0) + 3f’(1)
Pembahasan
Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat memasukkan nilai 0 ke dalam
fungsi tersebut.
Setelah Anda, mendapatkan nilai f(0). Kita dapat mengerjakan turunan
fungsi hasil bagi menggunakan salah sifat turunan.
Untuk menggunakan rumus tersebut, kita dapat menggunakan pemisalan dan
turunannya seperti di bawah ini.
U = x^2 + 3 ; U’ = 2x
V = 2x + 1 ; V’ = 2
Kemudian, kita bisa memasukkan pemisalan tersebut ke dalam rumus turunan
yang sebelumnya serta kita dapat secara langsung memasukkan f’x(1).
Maka, hasil f(0) + 3f’(1) = 3 + 3(0) = 3
4. Tentukan hasil turunan
f(x) = (x2 + 2x + 3)(3x + 2)
Pembahasan
Sama seperti soal sebelumnya, Untuk mengerjakan soal turunan dalam
bentuk perkalian, kita dapat menggunakan rumus sifat turunan serta menggunakan
pemisalan dalam fungsi tersebut seperti di bawah ini.
F’(x) = u’v + uv’
U = x2 + 2x +
3 ; U’ = 2x + 3
V = 3x + 2 ; V’ = 3
F’(x) = u’v + uv’
F’(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x2 + 2x + 3)(3)
F’(x) = 6x2 + 13x + 6 +
3x2 + 6x + 9
F’(x) = 9x2 + 19x +
15
Sehingga bentuk akhir F’(x) adalah 9x2 + 19x + 15
5. Jika terdapat f(x) =
(2x-1)2(x+2). Berapakah nilai f’x(2)
Pembahasa
Untuk mengerjakan soal ini, kita bisa menggunakan sifat turunan fungsi
f’(x) = u’v + v’u untuk mendapatkan hasil akhir. Sehingga kita dapat melakukan
pemisalan kembali.
F’(x) = u’v + uv’
U= (2x-1)2 = 4x2 – 4x + 1 ; U’ = 8x – 4
V = x + 2 ; V’ = 1
F’(x) = u’v + uv’
F’(x) = (8x – 4)(x + 2) + (4x2 – 4x + 1)(1) ; kita dapat memasukkan nilai 2 seperti di soal
F’(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)2 – 4(2) + 1)(1))
F’(2) = ((16-4)(4)) + ((16-8+1)(1))
F’(2) = 96 + 9 = 105
Sehingga nilai akhir F’(2) adalah 105
Kesimpulan
·
Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap
perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).
·
Beberapa macam turunan yaitu turunan fungsi
aljabar, turunan akar, turunan parsial, turunan implisit, dan yang lainnya.
Komentar
Posting Komentar