Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap

 

Fungsi genap dan ganjil

Fungsi ganjil dan fungsi genap dalam matematika adalah fungsi yang memenuhi hubungan simetris tertentu, terhadap invers aditifnya. Penting dalam banyak bidang analisis matematika, terutama teori deret pangkat dan deret Fourier. Fungsi-fungsi ini dinamai menurut parity pangkat dari fungsi pangkat yang memenuhi setiap kondisi tertentu:

·         fungsi f(x) = xⁿ adalah suatu fungsi genap jika n adalah sebuah interger genap.

·         fungsi f(x) = xⁿ adalah suatu fungsi ganjil jika n adalah sebuah interger ganjil.

 

Konsep ganjil atau genap hanya didefinisikan untuk fungsi-fungsi yang ranah (domain) dan rentang (range)nya keduanya memiliki suatu invers aditif. Ini meliputi grup-grup aditif, semua cincin (ring), semua field, dan semua ruang vektor. Jadi, misalnya, fungsi dengan nilai real dari variabel real dapat merupakan fungsi ganjil atau genap, sebagaimana juga fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel vektor, dan seterusnya.

Misalkan diketahui sebuah fungsi f(x). Jika f(-x) = f(x) maka grafik tersebut simetri terhadap sumbu y. Fungsi yang demikian disebut fungsi genap. Sebaliknya, jika f(-x)=-f(x), maka grafik tersebut simetri terhadap titik asal (0,0). Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil.

Fungsi Genap

Katakanlah kita memiliki sebuah fungsi f(x). Jika

f(−x)=f(x)

maka kita katakan grafik tersebut simetri terhadap sumbu-yy. Fungsi yang demikian disebut fungsi genap.

Contoh 1:

Fungsi f(x)=x²−x di mana grafiknya terlihat dalam Gambar 1 adalah fungsi genap. Ini karena

f(−x)  =(−x)²−(−x)

=x²−x

=f(x)

Fungsi Ganjil

Katakanlah kita memiliki sebuah fungsi f(x). Jika

f(−x)=−f(x)

maka kita katakan grafik tersebut simetri terhadap titik asal (0,0). Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil.

Contoh:

Fungsi  g(x)=x³−2x dengan grafiknya diperlihatkan pada Gambar 3 adalah fungsi ganjil. Perhatikan bahwa

 

Sifat-sifat Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi genap dan fungsi ganjil memiliki beberapa sifat, yaitu:

a.       Jumlah dua fungsi genap menghasilkan suatu fungsi genap

b.      Jumlah dua fungsi ganjil menghasilkan suatu fungsi ganjil

c.       Jumlah fungsi genap dan fungsi ganjil tidak menghasilkan suatu fungsi genap atau fungsi ganjil, kecuali salah satu fungsinya adalah nol.

d.      Hasilkali dua fungsi genap menghasilkan suatu fungsi genap

e.       Hasilkali dua fungsi ganjil menghasilkan suatu fungsi genap

f.        Hasilkali sebuah fungsi genap dengan sebuah fungsi ganjil menghasilkan suatu fungsi ganjil.